Equacions de primer i segon grau. 3r ESO: 2017

dimecres, 4 de gener del 2017

Com inserir equacions en blogger

En l’elaboració d’aquest bloc, cal utilitzar, (com no!!) EQUACIONS.

Però, quina sorpresa! Blogger no té editor d'equacions i el codi LaTex és incompatible.

Cal afegir un script extern, per entendre el codi LaTex

El procediment és el següent:

1. Afegir un script al nostre bloc, que entenga el codi LaTex quan l'inserim a Blogger, ho detecte i ho traduïsca al format visual d'equació.

Ón l'inserim?

Editem la plantilla del nostre bloc, i trobem la etiqueta "<head>" a la línia 4, on enganxarem el codi següent

Codi per copiar i enganxar:

Després de guardar la plantilla, el "traductor de LaTex" estarà preparat per a funcionar.

2. Generar el codi LaTex a utilitzar.

Farem servir l'aplicació online Daum Equation Editor que es un senzill editor d'equacions, paregut al de Word o LibreOffice. Amb aquesta eina, es pot:

a) Crear una equació.
b) Generar el codi LaTex de la equació creada.

3. Enganxar el codi LaTex de la nostra equació entre signes doble-dolar

FONT:

http://taller-edublog.blogspot.com/2014/02/como-insertar-ecuaciones-en-blogger.html

L'equació de la transformació de la realitat

En aquest temps, tant canviants, vull afegir una reflexió que he trobat al periòdic "Les Muntanyes" d'Alcoi.

Tracta d'explicar quin és el procés de la transformació social:

L’empoderament és la “acció de fer fort, poderós”. L’empoderament ciutadà és el procés a través del com les persones i societats adquireixen un enfortiment social, polític, econòmic, cultural i espiritual que els permet transformar de forma positiva el món. Procés mitjançant el qual s’obté i concentra l’energia creadora de la realitat.

Segons un conegut politòleg, el món es transforma a través de la “equació matemàtica” de l’empoderament i la transformació social, a saber:

$$Transformació\quad Social\quad =\quad Doldre+Saber+Voler+Poder+Fer$$

Quan alguna cosa dol, o pica (encara que solament siga la curiositat), impulsa a cercar la informació necessària per a alleujar el dolor. El saber fomenta la voluntat de fer, la qual porta a cercar els mitjans per a poder dur a terme l’acció.

...

Amb una ciutadania empoderada, s’obté la capacitat de prendre les decisions que van a modelar la vida social i, ja que l’ésser humà és un individu social, la vida de cadascú: la realitat. S’obté la capacitat de prendre les decisions adequades i d’executar-les. La capacitat de fer, de dur a terme les propostes concretes. No hi ha mar, núvol o embassament que es puga resistir a l’exercici del poder col·lectiu d’una ciutadania empoderada.

L'equació de la felicitat

Però no es tracta de matemàtiques. És el títol d'un llibre!

En aquest cas, tractem la paraula "equació" amb un significat més lingüístic que matemàtic. Es podria dir que és sinònim de fòrmula, de procediment, del camí a seguir.

És un exemple de la Psicologia Positiva, aplicada a la vida.

Està escrit per Bridget Grenville-Cleave i la Dra Ilona Boniwell, amb la col.laboració de la Dra Tina B. Tessin. És un llibre molt interessant que es basa en sòlids coneixements sobre Psicologia positiva. Hi ha 100 factors, un per pàgina, amb la seva corresponent puntuació i una explicació sobre la conducta, l'actitud o la situació ambiental a què es refereix el factor.

Alguns dels 100 factors són: vitalitat, capacitat de recuperació, extraversió, curiositat, riure, escriure un diari, música, ... També hi ha factors negatius que si es tenen resten punts: preocupacions, insomni, baralles familiars, conflictes a la feina, ...

Com a curiositat cite el factor "Matrimoni feliç". Té 5 punts positius i diu que les persones que estan casades són més feliços que les persones solteres.

Referència bibliogràfica:

Grenville-Cleave, B., Boniwell, I., Tessin, T.B. (2009) La ecuación de la felicidad. Barcelona, Editorial Océano

Una aplicació més enllà de les matemàtiques

Històricament, les primeres equacions que es formalitzen són de naturalesa aritmètica i daten del segle III. Si es cerca com a solució d'una equació, no un nombre qualsevol, sinó un nombre enter i si l'equació és de coeficients enters, es parla d'equació diofàntica. Els mètodes descrits anteriorment, generalment, són insuficients per a resoldre les equacions diofàntiques; per fer-ho, són indispensables les eines procedents de l'aritmètica, o almenys de l'aritmètica elemental.

Un vast àmbit d'aplicació de les equacions diofàntiques és la informàtica. Les eines procedents dels seus estudis permeten dissenyar codis correctors i són la base d'algorismes de criptografia. Hi ha equacions diofàntiques que s'escriuen de manera simple, però que demanen temps de tractament prohibitius per resoldre-les, són la base dels codis secrets. Per exemple, l'equació n = x·y, en què n és un nombre natural fixat i en què x i y són les desconegudes, no és resoluble en la pràctica, si n és el producte de dos nombres primers prou grans. Aquesta equació és la base del codi RSA.

Regles per resoldre una equació

Com a recordatori del que ja hauriem d'haver aprés anteriorment:

Equació sense denominadors

1r Agrupar els monomis que porten la incògnita (“les x”) en un membre de l'equació i els termes independents en l'altre membre.

2n Aïllar la incògnita: deixar la incògnita sola en un membre de l'equació.

Si el resultat d'aïllar la incògnita és una fracció, pots donar el resultat com fracció simplificada o calcular el valor de la fracció.

Equació amb denominadors

1r Calcula el mínim comú múltiple de tots els denominadors de l'equació.

2n Redueix a comú denominador: cada terme es transforma en una fracció equivalent que tingui per denominador el mínim comú múltiple de tots els denominadors.

3r Elimina els denominadors (al multiplicar tot dos membres pel denominador comú s'obté una equació equivalent).

4t Resol l'equació, ja sense denominadors.

Resolució general d'equacions de primer grau

1r Treure parèntesis.

2n Treure denominadors.

3r Agrupar els monomis que tenen la incògnita en un membre i els termes independents en l'altre.

4t Aïllar la incògnita.

Equacions equivalents

S'anomenen equacions equivalents a les que tenen les mateixes solucions.

El procediment de resolució de les equacions, es serveix de les equacions equivalents, per a transformar l’expressió algebràica original en una altra més senzilla.

Com obtenir-les?

Si es suma o resta una quantitat, o expressió, als dos membres d'una equació s'obté una altra equació equivalent.

Regla pràctica: “el que està sumant passa restant, i viceversa”.

$$15x\quad -\quad 5\quad =\quad 7x\quad +\quad 3\\ 15x\quad -\quad 5\quad +\quad 5\quad =\quad 7x\quad +\quad 3\quad +\quad 5\\ 15x\quad =\quad 7x\quad +\quad 3\quad +\quad 5\\ 15x\quad -\quad 7x\quad =\quad 7x\quad +\quad 3\quad +\quad 5\quad -7x\\ 15x\quad -\quad 7x\quad =\quad 3\quad +\quad 5$$

Si es multipliquen o divideixen els dos membres d'una equació per un número, o expressió, s'obté una altra equació equivalent.

Regla pràctica: “el que està multiplicant passa dividint, i viceversa”.

$$\frac { 2 }{ 3 } x\quad =\quad 8\\ 3·\frac { 2 }{ 3 } x\quad =\quad 3·8\\ 2x\quad =\quad 24\\ 2x·\frac { 1 }{ 2 } =24·\frac { 1 }{ 2 } \\ x\quad =\quad 12\\ $$

Agrupant les anteriors expressions, arribem a un dels principis fonamentals de les matemàtiques:

Si a les dues parts d'una igualtat, les apliquem la mateixa operació,
la igualtat no varia.

Etimologia matemàtica

La importància de Al-Khwarazmí es denota per l'utilització del seu nom com fonament etimològic de molts termes matemàtics.

El seu tractat d'àlgebra Hissab al-jabr wa-l-muqàbala va ser dedicat al califa al-Mamun. La paraula àlgebra deriva de la part del títol al-jabr. En aquesta obra, escrita amb finalitats pràctiques de resoldre problemes de repartiment d'herències (molt complicades en el món islàmic) i obres d'enginyeria, es resolen matemàticament i aplicant la lògica d'equacions lineals i quadràtiques. Al-Khwarazmí ensenyà, per exemple, com multiplicar l'expressió (a + b x) (c + d x), tot això expressat en paraules, ja que la notació simbòlica de la matemàtica actual no s'utilitzava.

La paraula algorisme deriva de la traducció llatina realitzada el segle XII de l'obra sobre càlcul amb nombres hindús anomenada algoritmi (transcripció llatina d'al-Khwarazmí), de numero indorum. També del seu nom en deriva la paraula "guarisme" (en castellà, guarismo), que és sinònim de "xifra"; i en portuguès, un algarismo també té un significat similar. Aquesta obra, Algoritmi, sembla que ha estat la primera en què s'exposa sistemàticament el valor posicional dels nombres en el sistema decimal (inclòs el zero), a partir del sistema de numeració utilitzat a l'Índia.

Al-Khwarazmí

Muhàmmad ibn Mussa al-Khwarazmí, conegut normalment com a al-Khwarazmí o al-Khuwarizmí (Bagdad?, 780-850), fou un matemàtic, geògraf i astròleg/astrònom creador dels termes àlgebra i algorisme. Les seves dades biogràfiques són insegures: segons l'historiador del seu temps at-Tabarí, va néixer prop de Bagdad; altres fonts el fan originari de Pèrsia, cosa que concordaria amb la presumpció que era o havia estat seguidor del zoroastrisme.

El seu treball científic es va desenvolupar entre els anys 813 i 833 dins de les institucions fundades pel califa al-Mamun: la Casa de la saviesa (dedicada a traduir obres clàssiques), la biblioteca i l'observatori astronòmic de Bagdad. Gràcies a això, es van transmetre a la cultura àrab els coneixements dels clàssics en grec, llatí o sànscrit. Durant els segles de l'edat mitjana, al-Khwarazmí va ser la principal font de coneixements matemàtics entre l'Orient i l'Occident.

En el seu tractat d'àlgebra, obra eminentment didàctica, pretenia ensenyar una àlgebra aplicada a la resolució de problemes de la vida quotidiana de l'imperi islàmic d'aleshores. La traducció de Rosen de les paraules d'al-Khwarazmí descrivint les finalitats del seu llibre confirmen l'objectiu educatiu del savi

«... allò que és fàcil i més útil en aritmètica, de manera que les persones ho requereixen constantment en casos d'herència, llegats, particions, judicis i comerç, i en tots els seus tractes amb els altres, o quan es tracta de la mesura de les terres, excavació de canals, càlculs geomètrics, i altres objectes de diverses classes i tipus...»

dimarts, 3 de gener del 2017

Concepte d'equació

Fem servir equacions quan hem de trobar una cierta quantitat desconeguda, però que sabem verifica una condició determinada.

La quantitat desconeguda s'anomena incògnita i es representa per "x" (o qualsevol altra lletra) i la condició que compleix s'escriu como una igualtat algebraica a la que anomenem equació.

Resoldre una equació és trobar el o els valors de la o les incògnites que verifiquen la igualtat. Es a dir, la o les solucions.

Elements d'una equació

Membres: les expressions a cada costat de la igualtat. El de l'esquerra s'anomena 1r membre. El de la dreta, 2n membre.
Termes: són els sumands que formen els membres.
Incògnites: són les lletres de l'equació.
Solucions: són els valors que han de prendre les lletres perque la igualtat siga certa.
Grau d'una equació: és el més gran dels graus dels monomis dels dos membres.

Situacions que s’expressen amb equacions

Tenim 100€ per repartir entre tres germans, de forma que el gran reba el doble que els altres dos. Com fem aquest repartiment?

Un poquet d'història

El document més antic en el què es presenten problemes que es resolen amb equacions és el papir Rhind de 1650 a.C. (en pots veure un fragment a la imatge).

El papir de Rhind és un papir egipci datat del 1650 aC. Juntament amb el papir de Moscou, és el document matemàtic més important de l'antic Egipte. És una còpia realitzada per un escriba anomenat Ahmes, per la qual cosa també se'l coneix com a papir d'Ahmes. Ahmes assegura que el va copiar d'un document anterior de la XII dinastia, al voltant del 1800 aC. Alexander Henry Rhind, un antiquari escocès, el va comprar el 1858 a Luxor (Egipte), d'on li ve el nom. Actualment, es conserva al Museu Britànic de Londres, tot i que alguns fragments són al Museu de Brooklyn de Nova York.

El papir fa uns 5 metres de llarg i 33 cm d'ample i està escrit per les dues cares. Consta de 87 problemes escrits en escriptura hieràticaque tracten sobre àlgebra, geometria i trigonometria. En els primers paràgrafs del papir, Ahmes ens assegura que és el: càlcul exacte per a entrar en el coneixement de les coses existents i de tots els obscurs secrets i misteris.

Pàgines

dimecres, 4 de gener del 2017

dimarts, 3 de gener del 2017